TOPIC / matrix-methods

特征值、SVD 与 PCA

观察主方向、低秩逼近、图像压缩和降维怎样提炼矩阵中的信息。

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e28的实际3×2矩阵SVD。顺序为左上输入圆、右上Vᵀ后的圆、左下Σ伸缩并嵌入三维坐标平面、右下U把结果映到A的列空间。橙色点在四图中对应同一输入，不能把后两阶段误读为二维方阵变换。

e29同一60×80含噪矩阵的奇异值谱与累计能量。信号由4个因子方向生成，加入噪声后后部奇异值仍非零；前四项累计能量约98.7269%。

e30同一100×140合成灰度图及k=2、8、25的近似。图题中的误差按一位百分数显示，精确核对值分别约7.10%、5.98%、4.49%；增加k保留更多细节，同时增加标量存储。

e31的同一批300个样本。左：中心化点云及两个主方向；中：得分坐标Xc@V；右：奇异值平方得到的解释率，约94.03%与5.97%。两幅散点图等比例显示，轴符号翻转不改变保留子空间。

二维矩阵A=[[2,1],[0,1]]的奇异值分解。单位圆依次经过输入正交变换Vᵀ、非负轴伸缩Σ和输出正交变换U，最终与直接作用A一致。