TOPIC / linear-algebra

向量、矩阵与方程组

用几何直觉理解向量、线性变换、距离、秩、方程组和协方差结构。

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e20_vector.py的同一组向量。左图按首尾相接画出1.5a与−0.5b；右图把c分解为沿a的投影p=(3,1.5)ᵀ与正交残差r=(0.5,−1)ᵀ。两图中c始终是(3.5,0.5)ᵀ。

同一正方形分别经恒等、30°旋转、沿轴缩放(2,0.6)和剪切0.8。虚线是原形状，填色是各自输出；行列式绝对值只报告面积倍率，不能概括边长和角度。

v=[1,2]的一维、行与列形状分别为(2,)、(1,2)、(2,1)；右图显示3×2的X与长度2的row相加。图中的实际广播结果为三行[11,21]。

e23_solve.py的秩图：左侧原矩阵A=[[1,2],[3,−1]]把单位圆映成椭圆；右侧另设rank_deficient=[[1,1],[0,0]]把平面压成一条直线，null_vector=(1,−1)ᵀ映到零。右图矩阵与后面的病态矩阵C不是同一对象。

P=(1,1)、Q=(4,3)的差为(3,2)。直线路程L2=√13，先横后纵的折线路程L1=5，最大单轴位移L∞=3。图中的折线仅帮助解释一范数，不是最小二乘残差图。

e25_eigen.py的A=[[3,1],[1,2]]把单位圆映成椭圆。两条特征方向为椭圆轴线，半轴长为(5±√5)/2。虚线圆和输出椭圆使用同一坐标尺度。

围绕“对角化与矩阵幂”完成一次可复现的 Python 教学实验。

左侧为e27三状态分布的前80步，水平虚线标出同一P算得的稳态π；右侧是两状态周期反例，第一状态概率在0与1间交替。两图共同区分稳态方程与长期收敛。

e32_lstsq.py。左：30个观测与拟合直线，竖线是数据平面的残差。右：以QR生成的30×3标准正交基表示y、yhat与residual这三个30维向量；拟合向量在列空间平面内，残差与该平面垂直，三维图精确表达它们所在的子空间。

四条模拟观测的样本协方差与线性组合方向。图中C即正文的样本协方差S；a=(0.6,0.4)ᵀ的组合样本方差约1.933333。